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巨大数探索スレッド10

43 :132人目の素数さん:2014/01/04(土) 01:41:05.83
>>42はどのマイクロ言語で式を考えているかがごちゃごちゃになっているので、
数式を用いてもう少し整理する。

ラヨ数の定義で用いられている、a∈b, a=b, (¬e), (e∧f), ∃a(e)で構成される言語をFOST、
FOSTに神託式f(a)=bを加えたものをFOST'とする。
以下では、fがラヨ関数の場合のみを考える。

言語Lを用いたラヨ関数Rayo(n,L)で式φが定義する数をNum(φ,L)と表すことにする。
>>42で単にφ_1, φ_2が表す数と書いていたのは、より厳密には
Num(φ_1,FOST'), Num(φ_2,FOST'), Num(φ_2,FOST)となる。
ラヨ関数の性質から、Num(φ_2,FOST)が定義されるならば
(1) Num(φ_2,FOST) < Rayo(10^100,FOST)
である。言語を拡張しても同じ式が定義する数は変わらないので、
(2) Num(φ_2,FOST) = Num(φ_2,FOST')
である。式φ_1とφ_2は同値なので、
(3) Num(φ_1,FOST') = Num(φ_2,FOST')
である。Num(φ_1,FOST')が定義されるならば、
(4) Num(φ_1,FOST') = Rayo(10^100,FOST)
である。(1)-(4)がすべて正しければ矛盾する。
また、(2),(3)の両辺の一方が定義されなければ他方も定義されないので、
Num(φ_1,FOST'), Num(φ_2,FOST'), Num(φ_2,FOST)はいずれも定義されないことになる。

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