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巨大数探索スレッド10

48 :132人目の素数さん:2014/01/05(日) 05:41:02.13
>>42について考えていたが、結局のところ
>2. ラヨ関数を表す式はFOSTで表現できない。
が正しいのではないかと思った。
というのも、ラヨ関数の定義に出てくるSat([φ],s)はRについての量化を含んでいる。
Rの集合の濃度は自然数と変数設定の直積の冪集合と同じ濃度であるため、
変数設定のオブジェクトの集合の濃度よりも大きい。
そのため、オブジェクトについての量化しか含まないFOSTではRについての量化を表せず、
ラヨ関数を表す式を直接FOSTで表現することはできないと思われる。

ただ、ゲーデル数を用いて形式体系を自然数論の中で取り扱うことで間接的にラヨ関数を表すことは、
帰納的に記述できる形式体系については可能と思われる。
この場合、帰納的に記述できる形式体系でラヨ関数を定義しようとすると
矛盾が生じてラヨ関数が一意に定まらなくなってしまう。
つまり、>>45とは別の理由で、帰納的に記述できない公理系でしかラヨ関数は定義できないと思われる。

帰納的に記述できない公理系で定義されたラヨ関数は、
直接的にも間接的にもFOSTの式で表すことができないため、
神託式を導入することで形式言語が拡張でき、より強いラヨ関数が定義できると思われる。
また、ラヨ関数がFOSTの式で表せることを前提にした>>43,>>46の議論は成り立たなくなる。
しかし、>>44,>>45の最後で書いた、ラヨ関数の値が公理系に依存しないかという問題は残ると思われる。

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